Question

已知函數．f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x．
（I）求證：0＜f（x）≤ln2；
（II）是否存在常數a使得當x＞0時，f（x）＞a恒成立？若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出函數f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x導數利用導數研究出函數的最值，求出最值即可證明本題．
（II）由（I）的證明，即可得出參數a存在，且a的取值范圍易得，

解答：（I）證明：∵f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x．
∴f′（x）=

1+ex-xex

(1+ex)2

+

ex

1+ex

-1=

-xex

(1+ex)2

∴當x＜0，f′（x）＞0；
當x＞0，f′（x）＜0；
故函數在x＜0時是增函數，在x＞0時是減函數，其最大值是f（2）=ln2
又x＞0時，f（x）=

x

1+ex

+ln（1+e^x）-x＞

x

1+ex

+ln（e^x）-x=

x

1+ex

＞0；當x＜0時，顯然有f（x）＞0
故有0＜f（x）≤ln2；
（II）解：由（I）的證明知，0＜f（x）≤ln2，故存在a≤0，使得當x＞0時，f（x）＞a恒成立．

點評：本題考查導數在最大值、最小值問題中的應用，解題的關鍵是根據導數與單調性的關系，以及函數最值的定義求出最值，本題中利用求出最值證明不等式，形式新穎．