Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2acosC=2b﹣c．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得2acosC=2b﹣c，

結合正弦定理可得 2sinAcosC=2sinB﹣sinC，

∴2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，

∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，

∴2cosAsinC=sinC，即cosA= ，

∴sinA=

（2）解：由（1）可得a=1，sinA= ，A= ，

∴b= = sinB，同理可得c= sinC，

∴△ABC的周長l=1+ sinB+ sinC

=1+ sinB+ sin（ ﹣B）

=1+ （sinB+ cosB+ sinB）

=1+ （ sinB+ cosB）

=1+2sin（B+ ），

∴B∈（0， ），∴B+ ∈（ ， ），

∴sin（B+ ）∈（ ，1]，

∴2sin（B+ ）∈（1，2]，

∴1+2sin（B+ ）∈（2，3]，

∴△ABC的周長l的取值范圍為（2，3]

【解析】（1）由題意和正弦定理以及和差角的三角函數公式可得cosA= ，進而可得sinA= ；（2）由（1）可得a=1，sinA= ，A= ，結合正弦定理可得l=1+ sinB+ sinC=1+2sin（B+ ），由B∈（0， ）和三角函數的值域可得．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關知識才是答題的關鍵．