Question

【題目】已知首項為 的等比數列{an}不是遞減數列，其前n項和為Sn （n∈N*），且S3+a3 ， S5+a5 ， S4+a4成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若實數a使得a＞Sn+ 對任意n∈N*恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q，

由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數列，可得：

2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，

即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，

即有4a5=a3，即為q2= ，

解得q=± ，

由等比數列{an}不是遞減數列，可得q= ，

即an= ．

（2）由（1）得Sn=1（ ）n=

當n為奇數時，Sn隨n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=

Sn+ ．

當n為偶數時，Sn隨n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=

Sn+

∴實數a使得a＞Sn+ 對任意n∈N*恒成立，則a的取值范圍為（ ，+∞）

【解析】（1）設等比數列公比為q，再根據S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數列，列出關系式得出q=,由等比數列為遞減數列舍得,得出通項公式；（2）分n為奇數和偶數時，寫出Sn，a＞Sn+ 對任意n∈N*恒成立,得到a的取值范圍.
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．