Question

【題目】已知單調遞增的等比數列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，對任意正整數n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）將已知條件轉化為等比數列的基本量來表示，通過解方程組得到其值，從而確定通項公式；（2）將數列{an}的通項公式代入可求得，根據特點采用錯位相減法求得前n項和，代入不等式Sn＋（n＋m）an＋1<0，通過分離參數的方法求得m的取值范圍

試題解析：（1）設等比數列的首項為，公比為，依題意，有，代入

可得，解得或，又數列單調遞增，數列的通項公式為

（2）∵bn＝2n·＝－n·2n，

∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①

－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1．②

①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2．

∵Sn＋（n＋m）an＋1<0，∴2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0對任意正整數n恒成立．

∴m·2n＋1<2－2n＋1對任意正整數n恒成立，即m<－1恒成立．

∵－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范圍是（－∞，－1]．