Question

【題目】已知函數(shù)對于任意的，都有，當時，，且．

（1）求，的值；

（2）當時，求函數(shù)的最大值和最小值；

（3）設函數(shù)，判斷函數(shù)g(x) 最多有幾個零點，并求出此時實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）當 時，函數(shù)最多有4個零點.

【解析】

（1）觀察表達式可知函數(shù)為抽象函數(shù)，可給賦具體值，令和即可求得；

（2）可先求證函數(shù)的單調(diào)性，結合時，，證明函數(shù)為減函數(shù)，再采用賦值法和函數(shù)單調(diào)性即可求解最值；

（3）令代入，可證函數(shù)為奇函數(shù)，化簡得，再結合奇偶性和增減性即可判斷函數(shù)的零點個數(shù)和參數(shù)取值范圍

（1）令得，得.

令，，得，解得．

(2)任取且，則，

因為，即，

令 則.

由已知時，且，則，

所以 ，，

所以函數(shù)在R上是減函數(shù)，

故在單調(diào)遞減.

所以，

因為，

，

故，.

(3) 令代入，

得，

所以，故為奇函數(shù).

∴

=

=

，

令，即

因為函數(shù)在R上是減函數(shù)，

所以，即，

所以當 時，函數(shù)最多有4個零點.