Question

【題目】如圖，有一邊長為6的正方形鐵片，在鐵片的四角各截去一個邊長為x的小正方形后，沿圖中虛線部分折起，做成一個無蓋方盒．
（1）試用x表示方盒的容積V（x），并寫出x的范圍；
（2）求方盒容積V（x）的最大值及相應x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，無蓋方盒底面是邊長為6﹣2x的正方形，高為x，

從而有：V（x）=x（6﹣2x）2=4x3﹣24x2+36x，

其中，x滿足： ，∴0＜x＜3

（2）解：由（1）知：V（x）=4x3﹣24x2+36x，x∈（0，3），

V′（x）=12x2﹣48x+36=12（x﹣1）（x﹣3），

若0＜x＜1，則V′（x）＞0；若1＜x＜3，則V′（x）＜0，

∴V（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，

∴V（x）在x=1處取得極大值，也是最大值，

∴V（x）max=V（1）=16，

故方盒容積V（x）的最大值為16，相應x的值為1

【解析】（1）求出方盒的容積V（x），根據邊長大于0，求出x的范圍即可；（2）求出v（x）的導數，根據函數的單調性求出v（x）的最大值以及相應x的值即可．