Question

（本小題滿分16分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點為球心、為直徑的球面切于點．

（1）求證：PD⊥平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值；
（3）求點到平面的距離．

Answer 1

（1）先證，推出，證明；
（2）；（3） 

試題分析：（1）證：依題設，在以為直徑的球面上，則,……2分
因為，則，又，
所以，則， ……4分
因此有， ……5分
（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，
，，，            ……8分

設平面的一個法向量，由可得：，
令，則，即.           ……10分
設所求角為，則，        ……12分
（3）設所求距離為，由，得： ……16分
點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關系的證明及角的計算問題是高考中的必考題，通過建立適當的坐標系，應用空間向量，可使問題簡化。