Question

【題目】已知函數f（x）= +a是奇函數
（1）求常數a的值
（2）判斷f（x）的單調性并給出證明
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= +a是奇函數，可得f（x）+f（﹣x）=0

∴ +a+ +a=0，解得a=

（2）解：由（1）得f（x）= + 在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數，證明如下

任取x1＜x2則

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

當x1，x2∈（0，+∞）時，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ，＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0；

當x1，x2∈（﹣∞，0）時，2x1﹣1＜0，2x2﹣1＜0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0，

綜上知，函數f（x）在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數

（3）解：2x→0時，f（x）→﹣ ，2x小于1趨向于1時，f（x）→﹣∞，

2x→+∞時，f（x）→ ，2x大于1趨向于1時，f（x）→+∞，

∴函數f（x）的值域是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）

【解析】（1）函數f（x）是奇函數，可得方程f（x）+f（﹣x）=0代入函數解析式，由此方程求出a的值；（2）由（1）函數f（x）= + ，由解析式形式知f（x）= + 在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數，由定義證明即可；（3）結合函數的單調性，從而求出函數的值域．