Question

已知向量

a．

b

.

c

.

d

．及實數x，y滿足|

a

|=|

b

|=1，

c

=

a

+（x-3）

b

，

d

=-y

a

+x

b，

若

a

⊥

b，

c

⊥

d

且|

c

|≤

10

．
（1）求y關于x的函數關系 y=f（x）及其定義域．
（2）若x∈（1、6）時，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，又|

a

|=|

b|

=1
∴|

c|

2=|

a

+(x-3)

b|

2=1+(x-3)2=x2-6x+10≤10
∴0≤x≤6
又∴

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=0，而∵

c

•

d

=[

a

+(x-3)

b]

[-y

a

+x

b]

=-y+x(x-3)=0
∴y=x²-3x（0≤x≤6）
（2）若x∈（1，6）時，則使f（x）≥mx-16恒成立，
即使x²-3x≥mx-16恒成立，也就是：m+3≤x+

16

x

成立．
令：g(x)=x+

16

x

在區間[0，4]遞減，在區間[4，+∞]遞增，
∴當x∈（1，6）時，g（x）min=g（4）=8∴m+3≤8即m≤5