Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點.

Answer 1

詳見解析；直線MN過定點(0,-3).

解析試題分析：先計算出E、R、G、R′各點坐標(biāo)，得出直線ER與GR′的方程，解得其交點坐標(biāo) 代入滿足橢圓方程即可; 先討論直線MN的斜率不存在時的情況，在討論斜率存在時，用斜截式設(shè)出直線MN方程.與橢圓方程聯(lián)立，用“設(shè)而不求”的方法通過韋達(dá)定理得出b為定值-3.從而證明出MN過定點（0，-3）.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴，             1分
又  則直線的方程為       ①         2分
又 則直線的方程為          ②         3分
由①②得                                       4分
   
   5分
∴直線與的交點在橢圓上  6分
（Ⅱ）① 當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)
則  ∴ ,不合題意     8分
② 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè) 

聯(lián)立方程 得
則 ，
   10分
又
即
將代入上式得      13分
∴直線過定點                                       14分
考點：1.直線的方程；2.解析幾何；3.韋達(dá)定理.