Question

設V是全體平面向量構成的集合，若映射f：V→R滿足：對任意向量a=（x₁，y₁）∈V，b=（x₂，y₂）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b）則稱映射f具有性質P．先給出如下映射：
①f₁：V→R，f₁（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
②f₂：V→R，f₂（m）=x²+y，m=（x，y）∈V；
③f₃：V→R，f₃（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V．
其中，具有性質P的映射的序號為

 

．（寫出所有具有性質P的映射的序號）

Answer 1

分析：求出兩個向量的和的坐標；分別對三個函數求f[λ

a

+(1-λ)

b

]與λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)的值，判斷哪個函數具有f[λ

a

+(1-λ)

b

]=λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)．

解答：解：

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，則λ

a

+(1-λ)

b

=(λx1+(1-λ)x2，  λy1+（1-λ）y₂}
對于①，f[λ

a

+(1-λ)

b

]=λx₁+（1-λ）x₂-λy₁-（1-λ）y₂=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）
而λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）滿足性質P
對于②f₂（λa+（1-λb））=[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λy₁+（1-λ）y₂]，λf₂（a）+（1-λ）f₂（b）=λ（x₁²+y₁）+（1-λ）（x₂²+y²）
∴f₂（λa+（1-λb））≠λf₂（a）+（1-λ）f₂（b），∴映射f₂不具備性質P．
對于③f[λ

a

+(1-λ)

b

]=λx₁+（1-λ）x₂+λy₁+（1-λ）y₂+1=λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
而λf(

a

)+(1-λ)f(

b

)=λ（x₁+y₁+1）+（1-λ）（x₂+y₂+1）═λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
滿足性質p
故答案為：①③

點評：本題考查理解題中的新定義、考查利用映射的法則求出相應的像．