Question

橢圓焦點(diǎn)在x軸，離心率為

3

2

，直線y=1-x與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，滿足OM⊥ON，求橢圓方程．

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓的方程，然后根據(jù)題意將已知代入方程，并運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理求出參數(shù)a，b．最后寫出橢圓方程．

解答：解：設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

3

2

，∴a²=4b²，即a=2b．
∴橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
把直線方程代入化簡(jiǎn)得5x²-8x+4-4b²=0．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則
x₁+x₂=

8

5

，x₁x₂=

1

5

（4-4b²）．
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=

1

5

（1-4b²）．
由于OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
解得b²=

5

8

，a²=

5

2

．
∴橢圓方程為

2

5

x²+

8

5

y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線與橢圓方程的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線方程，設(shè)出橢圓方程，并根據(jù)已知求解．考查了學(xué)生對(duì)雙曲線以及橢圓知識(shí)的糅合，屬于中檔題．