Question

【題目】已知函數y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

（1）當a＞0時，若f（x）滿足：y極小值=1，y極大值=，試求f（x）的解析式；

（2）若x∈[0，1]時，y=f（x）圖象上的任意一點處的切線斜率k滿足：|k|≤1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=-x3+x2+1；（2）

【解析】

（1）由（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=,易求出函數取極值時x的值，然后根據函數f（x）的極小值和極大值分別為1、，構造關于a，b的方程，解方程后即可求出函數y＝f（x）的解析式；（2）根據導數的幾何意義可知|k|=|f′（x）|≤1在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來，使之恒成立即可求出a的范圍．

（1）（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=．

a＞0時，x變化時f'（x），f（x）變化如下表：

所以f（0）=b=1，,解得a=1，b=1．故f（x）=-x3+x2+1；

（2）由題設x∈[0，1]時，恒有|k|=|f′（x）|≤1，

即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0，1]上恒成立．

當x=0時，a∈R；

當x∈（0，1]時，由-3x2+2ax≥-1恒成立，即2ax≥3x2-1，

y=在（0，1]上為增函數

所以a≥1

另一方面，由-3x2+2ax≤1恒成立，所以（當且僅當x=時，取最值）．

綜上所述：．