Question

【題目】在直角坐標系xOy中，M（﹣2，0）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，A（ρ，θ）為曲線C上一點，B（ρ，θ+ ），且|BM|=1．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）求|OA|2+|MA|2的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）B（ρ，θ+ ），化為直角坐標：B ，
∵|BM|=1，∴ =1，化為：ρ2+4ρ +3=0，展開：ρ2+ +3=0，
化為直角坐標方程：x2+y2+2x﹣2 y+3=0．
（II）：x2+y2+2x﹣2 y+3=0配方為：（x+1）2+ =1，可得圓心C ，半徑r=1．
點P（﹣1，0）到圓心C的距離d= ．
A（ρ，θ）化為直角坐標A（x，y）．
∴|OA|2+|MA|2=x2+y2+（x+2）2+y2=2[（x+1）2+y2]+2∈[2×3﹣1+2，2×3+1+2]，即|OA|2+|MA|2∈[7，9]．
【解析】（I）B（ρ，θ+ ），化為直角坐標：B ，利用|BM|=1，可得ρ2+4ρ +3=0，展開把 及其ρ2=x2+y2代入即可得出．（II）x2+y2+2x﹣2 y+3=0配方為：（x+1）2+ =1，可得圓心C，半徑r．得出點P（﹣1，0）到圓心C的距離d．A（ρ，θ）化為直角坐標A（x，y）．|OA|2+|MA|2=2[（x+1）2+y2]+2∈[2d2﹣1+2，2d2+1+2]．