Question

【題目】在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）設D、E分別是線段BC、CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，
∵AB∩AC=A，
∴AA1⊥平面ABC，
∵BC平面ABC，
∴AA1⊥BC，
∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴直線BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）解：取AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1 ， 設O為A1C，AC1的交點，則O為AC1的中點．
連接MD，OE，則MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，
∴MD∥OE，MD=OE，
連接OM，則四邊形MDEO為平行四邊形，
∴DE∥MO，
∵DE平面A1MC，MO平面A1MC，
∴DE∥平面A1MC，
∴線段AB上存在一點M（線段AB的中點），使直線DE∥平面A1MC．

【解析】（Ⅰ）先證明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以證明直線BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）取AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1 ， 證明四邊形MDEO為平行四邊形即可．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．