Question

【題目】正項數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足an=2 ﹣1．若對任意的正整數p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，則實數k的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵an=2 ﹣1，∴Sn= ，

∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵n∈N*，an＞0，

∴an﹣an﹣1=2．

n=1時，a1=S1= ，解得a1=1．

∴數列{an}是等差數列，首項為1，公差為2．

∴Sn=n+ =n2．

∴不等式SP+Sq＞kSp+q化為：k＜ ，

∵ ＞ ，對任意的正整數p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，

∴ ．

則實數k的取值范圍為 ．

所以答案是： ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．