Question

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求橢圓E的方程；
(2)在橢圓E上是否存點Q，使得？若存在，有幾個（不必求出Q點的坐標），若不存在，請說明理由．
（3）過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作的兩條切線，切點分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．

Answer 1

（1）；（2）滿足條件的點Q存在，且有兩個.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其性質，考查學生的轉化思想和數形結合思想，考查分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，先由長軸長得到a的值，設出橢圓的標準方程，利用已知條件數形結合得到C點坐標，將C點坐標代入到橢圓中，得到b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，先設出Q點坐標，利用已知等式計算，可知點Q在直線上，點在直線上，而在橢圓內部，數形結合得存在點Q而且存在2個；法二：用和橢圓方程聯立消參，得到關于x的方程，看方程的判別式，判別式大于0時，方程有2個根，則直線與橢圓有2個交點；第三問，設出點P的坐標，由切線的性質得四點共圓，此圓的圓心為，直徑為OP，得到此圓的方程，M、N既在此圓上，又在圓O上，2個方程聯立，解出直線MN的方程，得出截距的值，再轉化出P點坐標代入到橢圓中即可；法二：設出點P、M、N的坐標，利用直線的垂直關系，利用斜率列出等式，轉化成直線PM和直線PN的方程，從而得到直線MN的方程.
試題解析：(1)依題意知：橢圓的長半軸長，則A(2，0)，
設橢圓E的方程為           2分
由橢圓的對稱性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|
∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC為等腰直角三角形，
∴點C的坐標為(1，1)，點B的坐標為(－1，－1)，          4分
將C的坐標(1，1)代入橢圓方程得
∴所求的橢圓E的方程為                      5分
（2）解法一：設在橢圓E上存在點Q，使得，設，則
即點Q在直線上，                             7分
∴點Q即直線與橢圓E的交點，
∵直線過點，而點橢圓在橢圓E的內部，
∴滿足條件的點Q存在，且有兩個．                          9分
解法二：設在橢圓E上存在點Q，使得，設，則
即，   ①                       -7分
又∵點Q在橢圓E上，∴，        ②
由①式得代入②式并整理得：，  -③
∵方程③的根判別式，
∴方程③有兩個不相等的實數根，即滿足條件的點Q存在，且有兩個．       9分
（3）解法一：

設點，由M、N是的切點知，,
∴O、M、P、N四點在同一圓上，                     10分
且圓的直徑為OP,則圓心為，
其方程為，               11分
即  -④
即點M、N滿足方程④，又點M、N都在上，
∴M、N坐標也滿足方程       -⑤
⑤-④得直線MN的方程為，               12分
令得，令得，                 13分
∴，又點P在橢圓E上，
∴，即=定值.                 14分
解法二：設點則     10分
直線PM的方程為化簡得      ④
同理可得直線PN的方程為       -⑤         11分
把P點的坐標代入④、⑤得
∴直線MN的方程為，                           12分
令得，令得，                      13分
∴，又點P在橢圓E上，
∴，即=定值．                      -14分