【題目】已知函數
.
（1）若
且
，求
的單調區間；
（2）若
在
處取得最大值，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
在
單調遞增，在
單調遞減；（2）
.
【解析】
當
時，求得函數的導數
，利用導數的符號，即可求解函數的單調區間；
求得函數
導數
，構造新函數
，求得
的導數，分
，
，
，四種情況討論，求得的單調性與最值，得出單調性，即可求解的極值，進而得到
的范圍.
當時，
，
則
，
，
令
，
，
∴在單調遞增，在單調遞減.
由已知得
，
則
，
記
，
則
，
，
①當，
時，
，函數
單調遞增，
所以當
時，
，
當
時，
，
所以在
處取得極小值也是最小值，不滿足題意.
②當時，
時，
，函數單調遞增.
可得當時，，
當
時，，
所以在處取得極小值也是最小值，不滿足題意.
③當時，當時，
，函數單調遞增，
時，
，
在內單調遞減，
所以當時，
，
單調遞減，不合題意.
④當時，即
，當
時，
，單調遞減，
，當時，
，單調遞減，，
所以在處取得極大值也是最大值，符合題意.
綜上可知，實數的取值范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）寫出曲線的極坐標方程和直線的直角坐標方程；
（2）若射線
與曲線交于
兩點，與直線交于
點，射線
與曲線交于
兩點，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為：（ ）
A.15.5尺B.12.5尺C.9.5尺D.6.5尺
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某科研課題組通過一款手機APP軟件，調查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數分布表
周跑量（km/周） |
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人數 | 100 | 120 | 130 | 180 | 220 | 150 | 60 | 30 | 10 |
（1）在答題卡上補全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖:
注:請先用鉛筆畫，確定后再用黑色水筆描黑
（2）根據以上圖表數據計算得樣本的平均數為
，試求樣本的中位數（保留一位小數），并用平均數、中位數等數字特征估計該市跑步愛好者周跑量的分布特點
（3）根據跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝備的價格不一樣，如下表:
周跑量 | 小于20公里 | 20公里到40公里 | 不小于40公里 |
類別 | 休閑跑者 | 核心跑者 | 精英跑者 |
裝備價格（單位：元） | 2500 | 4000 | 4500 |
根據以上數據，估計該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費多少元?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解疫情期間哈一中高三學生的心理需求，更好的開展高考前的心理健康教育工作，心理老師設計了兩個問題，第一個問題是“你出生的月份是奇數嗎？”；第二個問題是“你是否需要心理疏導？”.讓被調查者在保密的情況下擲一個均勻的骰子，其他人不知道擲骰子的結果，要求：當出現1點或2點時，回答第一個問題；否則回答第二個問題，由于其他人不知道他回答的是哪一個問題，因此，當他回答“是”時，你也無法知道他是否有心理問題，這種調查既保護了他的隱私，也能反映真實情況，可以從調查結果中得到需要的估計，若調查的900名學生中有156人回答“是”，由此可估計我校高三需要心理疏導的學生所占的比例約為______．
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