Question

已知定義域為R的函數f（x）對任意實數x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．給出下列結論：f(

π

4

)=

1

2

；②f（x）為奇函數；③f（x）為周期函數；④f（x）在（0，x）內單調遞減．其中正確的結論序號是（　　）

• A、②③
• B、②④
• C、①③
• D、①④

Answer 1

分析：令x=y=

π

4

可求出f（

π

4

）的值，得知①不對排除CD．由x=

π

2

可知f（x）在（0，x）內單不是調遞減排除B．

解答：解：令x=y=

π

4

，根據f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．
∴f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

)  •

2

2

∴f(

π

4

)=

2

2

故①不對
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，則
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函數   故②對．
令x=

π

2

，由f（0）=0，f（

π

2

）=1知④不對
故選A．

點評：本題主要考查抽象函數的有關問題．抽象函數值、單調性、周期性、奇偶性經常是考查重點．