Question

你能構造一個實際背景，對等式C_n+1^m=C_n^m+C_n^m-1的意義作出解釋嗎？

Answer 1

解：從裝有n個白球，1個黑球，共n+1個球的口袋中取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），
若直接取，由組合數公式可得，其有C_n+1^m種取法；
同時，也可以分成兩類：一類是取出的m個球全部為白球，有C_n^m種取法，另一類是，取出1個黑球，m-1個白球，C_n+1^m種取法；即有C_n^m+C_n^m-1種取法；
則C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m成立．
分析：觀察等式，可以設計背景為從裝有n個白球，1個黑球，共n+1個球的口袋中取出m個球；用兩種不同的取法進行，第一直接取，第二分按取到黑球與否分成兩類來取；分別計算其取法數目，令其相等可得答案．
點評：本題考查組合數公式的意義，注意從公式的特點出發，尋找突破點．