Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

1

4

(an+1)2，且a_n＞0．
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）令b_n=20-a_n，試求數列{b_n}的前多少項的和最大？

Answer 1

（1）當n=1時，有a1=S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1
當n=2時，有a1+a2=

1

4

(a2+1)2，∴a₁=3
當n≥2時，有an=Sn-Sn-1=

1

4

[(an+1)2-(an-1+1)2]
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于b_n=20-a_n=21-2n，則b₁=19，b_n-b_n-1=-2＜0．
∴{b_n}是遞減數列，
令

bn=21-2n＞0   bn+1=19-2n＜0

，
∴n=10，即數列{b_n}的前10項和最大．