Question

（2012•紹興模擬）已知F₁，F₂是橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且∠F1PF2=

π

2

，記線段PF₁與Y軸的交點為Q，O為坐標原點，若△F₁OQ與四邊形OF₂PQ的面積之比為1：2，則該橢圓的離心率等于（　　）

• A．2-

  3

• B．2

  3

  -3
• C．4-2

  3

• D．

  3

  -1

Answer 1

分析：先利用PF₁與軸的交點為Q，△F₁OQ與四邊形OF₂PQ的面積之比為1：2，點F₁（-c，0），求得點P的坐標，代入橢圓標準方程即可得關于a、b、c的等式，從而求得橢圓離心率

解答：解：設Q（0，m），P（x，y）
∵△F₁OQ與四邊形OF₂PQ的面積之比為1：2，
∴△F₁OQ與三角形PF₁F₂的面積之比為1：3
∴

1

2

×c×m=

1

3

×

1

2

×2c×y，∴m=

2

3

y
又∵

y

x+c

=

m

c

∴x=

c

2

，
∵∠F1PF2=

π

2

，
∴

y

x+c

× 

y

x-c

= -1，即

y

3 2 c

×

y

- 1 2 c

= -1，
∴y²=

3

4

c2
將x=

c

2

和y²=

3

4

c2代入橢圓方程得：

( c 2 ) 2

a 2

+

3 4 c 2

b 2

=1
即e²+

3e2

1-e2

=4，解得e=

3

-1
故選 D

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及其幾何性質，特別是橢圓離心率的求法，利用已知幾何條件建立關于a、b、c的等式，是解決本題的關鍵