Question

已知二次函數y=f₁(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數y=f₂(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).
(Ⅰ) 求函數f(x)的表達式；
(Ⅱ) 證明:當a>3時,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數解.

Answer 1

(Ⅰ) f(x)=x²+.(Ⅱ) f(x)=f(a),得x²+=a²+, 即=－x²+a²+.在同一坐標系內作出f₂(x)=和f₃(x)= －x²+a²+的大致圖象,其中f₂(x)的圖象是以坐
標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f₃(x)與的圖象是以(0, a²+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f₂(x)與f₃(x)的圖象在第三象限有一個交點,即f(x)=f(a)有一個負數解.又∵f₂(2)="4," f₃(2)= －4+a²+，當a>3時,. f₃(2)－f₂(2)= a²+－8>0,當a>3時,在第一象限f₃(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f₂(x)圖象的上方.f₂(x)與f₃(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數解.因此,方程f(x)=f(a)有三個實數解.

試題分析：(Ⅰ)由已知,設f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1,得a="1," ∴f₁(x)= x².設f₂(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為A(,)，B(－,－)
由=8,得k="8,." ∴f₂(x)=.故f(x)=x²+.
(Ⅱ) （證法一）f(x)=f(a),得x²+=a²+,
即=－x²+a²+.在同一坐標系內作出f₂(x)=和
f₃(x)= －x²+a²+的大致圖象,其中f₂(x)的圖象是以坐
標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f₃(x)與的圖象是以(0, a²+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f₂(x)與f₃(x)的圖象在第三象限有一個交點,即f(x)=f(a)有一個負數解.又∵f₂(2)="4," f₃(2)= －4+a²+，當a>3時,. f₃(2)－f₂(2)= a²+－8>0,當a>3時,在第一象限f₃(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f₂(x)圖象的上方.f₂(x)與f₃(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數解.因此,方程f(x)=f(a)有三個實數解.
（證法二）由f(x)=f(a),得x²+=a²+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一個解x₁=a.方程x+a－=0化為ax²+a²x－8=0,由a>3,△=a⁴+32a>0,得x₂=, x₃=,x₂<0, x₃>0, ∵x₁≠ x₂,且x₂≠ x₃.若x₁= x₃,即a=,則3a²=, a⁴=4a,得a=0或a=,這與a>3矛盾,∴x₁≠ x₃.故原方程f(x)=f(a)有三個實數解.
點評：函數與方程是高中數學重要的數學思想， 將函數問題轉化為方程問題求解，可以使函數中好多問題變得比較好解決