Question

（本題14分）如圖：在二面角中，Ａ、Ｂ，Ｃ、Ｄ，ＡＢＣＤ為矩形，且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依次是ＡＢ、ＰＣ的中點，

（１）求二面角的大小（６分）
（２）求證：（６分）
（１） 求異面直線ＰＡ和ＭＮ所成角的大小（７分）

Answer 1

（1）二面角的平面角為45⁰。（2）異面直線ＰＡ和ＭＮ所成的角為45⁰

解：（1）連結PD∵ABCD為矩形∴AD⊥DC, 即
又PA⊥,∴PD⊥,
∴PAD為二面角的平面角，又∵PA⊥AD，PA=AD
∴PAD是等腰直角三角形，∴PDA=45⁰，即二面角的平面角為45⁰。
（2）證明：過M作ME∥AD，交CD于E，連結NE，則ME⊥CD，
NE⊥CD，∴CD⊥平面MNE， MN⊥CD，又∵AB∥CD，MN⊥AB。
（3）解：過N作NF∥CD，交PD于F，∵ N是PC的中點
∴F是PD的中 點，連結AF，可以證明四邊形AMNF是平行四邊形
∴AF∥MN，PAF是異面直線ＰＡ和ＭＮ所成的角，∵ PA=PD， ∴F是PD的中點，∴AF是PAD的平分線，∵ PAD=90⁰ ∴PAF=45⁰，∴異面直線ＰＡ和ＭＮ所成的角為45⁰。