Question

【題目】設AB=6，在線段AB上任取兩點C、D（端點A、B除外），將線段AB分成三條線段AC、CD、DB．
（1）若分成的三條線段的長度均為正整數，求這三條線段可以構成三角形（稱為事件A）的概率；
（2）若分成的三條線段的長度均為正實數，求這三條線段可以構成三角形（稱為事件B）的概率；
（3）根據以下用計算機所產生的20組隨機數，試用隨機數模擬的方法，來近似計算（2）中事件B的概率， 20組隨機數如下：

組別	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	0.52	0.36	0.58	0.73	0.41	0.6	0.05	0.32	0.38	0.73
Y	0.76	0.39	0.37	0.01	0.04	0.28	0.03	0.15	0.14	0.86

組別	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
X	0.67	0.47	0.58	0.21	0.54	0.64	0.36	0.35	0.95	0.14
Y	0.41	0.54	0.51	0.37	0.31	0.23	0.56	0.89	0.17	0.03

（X和Y都是0～1之間的均勻隨機數）

Answer 1

【答案】
（1）解：若分成的三條線段的長度均為正整數，則三條線段的長度的所有可能為：

1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；

2，1，3；2，2，2；2，3，1；

3，1，2；3，2，1；

4，1，1，

共10種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構成三角形

則構成三角形的概率p=

（2）解：由題意知本題是一個幾何概型

設其中兩條線段長度分別為x，y，

則第三條線段長度為6﹣x﹣y，

則全部結果所構成的區域為：

0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，

即為0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6

所表示的平面區域為三角形OAB；

若三條線段x，y，6﹣x﹣y，能構成三角形，

則還要滿足 ，即為 ，

所表示的平面區域為三角形DEF，

由幾何概型知所求的概率為：P= =

（3）解：步驟如下：

①產生兩組0～1之間的均勻隨機數X、Y（題目給出）

②經平移和伸縮變換，a=6X，b=6Y，

③數出落在0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6的點（a，b）的個數N和落在0＜x＜3，0＜y＜3，0＜6﹣x﹣y＜6，6﹣x﹣y+y＞x，x+y＞6﹣x﹣y

的點（a，b）的個數N1，由已知中的20組隨機數可數得N=13，N1=3

④由 = ，故P（B）= ．

【解析】（1）本題是一個古典概型，若分成的三條線段的長度均為正整數，則三條線段的長度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構成三角形，得到概率．（2）本題是一個幾何概型，設出變量，寫出全部結果所構成的區域，和滿足條件的事件對應的區域，注意整理三條線段能組成三角形的條件，做出面積，做比值得到概率．（3）根據隨機數模擬的方法和步驟即可近似計算（2）中事件B的概率．
【考點精析】關于本題考查的幾何概型，需要了解幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等才能得出正確答案．