已知函數
是偶函數。
（1）求
的值；
（2）設函數
，其中實數
。若函數
與
的圖象有且只有一個交點，求實數
的取值范圍。
（1）
；（2）
解析試題分析：（1）根據偶函數定義
可得到關于k的方程，根據對應系數相等可解出k的值。（2）由題意分析可知將函數與的圖象有且只有一個交點的問題 為方程
只有一個根的問題。將整理變形并結合換元法可轉化為
，在
上只有一個解的問題。因為此二次函數對稱軸是變量，屬于動軸定區間問題。分情況討論，詳見解析。
試題解析：解:（1）∵
由題有對恒成立 …2分
即
恒成立，整理得
，所以
∴
（2）由函數的定義域得
， 由于
所以 
即定義域為
∵函數
與
的圖象有且只有一個交點，即方程
在上只有一解。
即：方程
在
上只有一解
令
，則
，上式可變形為，在上只有一個解。
當
時，
舍。
當
時，記
，其圖像的對稱軸為
，所以
在
上單調遞減，而
。所以方程在上無解。
當時，記，其圖象的對稱軸
所以只需
，即
，此恒成立
∴此時
的范圍為
綜上所述，所求的取值范圍為
考點：奇偶性，數形結合思想，二次函數的動軸定區間問題
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
，x∈[－1,1]，函數g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值為h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在實數m、n同時滿足下列條件：
①m＞n＞3；
②當h(a)的定義域為[n，m]時，值域為[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某單位擬建一個扇環面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環面是由以點
為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設計要求扇環面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為
米，圓心角為
（弧度）．
（1）求關于的函數關系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為
，求關于的函數關系式，并求出為何值時，取得最大值？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
上海某化學試劑廠以x千克/小時的速度生產某種產品（生產條件要求
），為了保證產品的質量，需要一邊生產一邊運輸，這樣按照目前的市場價格，每小時可獲得利潤是
元.
(1)要使生產運輸該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；
(2)要使生產運輸900千克該產品獲得的利潤最大，問：該工廠應該選取何種生產速度？并求最大利潤.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的自變量的取值區間為A，若其值域區間也為A，則稱A為的保值區間.
（Ⅰ）求函數
形如
的保值區間；
（Ⅱ）函數
是否存在形如
的保值區間？若存在，求出實數
的值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
湖北省第十四屆運動會紀念章委托某專營店銷售，每枚進價5元，同時每銷售一枚這種紀念章需向荊州籌委會交特許經營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經過市場調研發現每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現設每枚紀念章的銷售價格為
元，為整數.
(1)寫出該專營店一年內銷售這種紀念章所獲利潤
(元)與每枚紀念章的銷售價格(元)的函數關系式(并寫出這個函數的定義域)；
(2)當每枚紀念章銷售價格為多少元時，該特許專營店一年內利潤(元)最大，并求出最大值．
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的極值點；
上的根的個數.
為常數）.
的定義域；
，
,求函數
的圖像恒在直線
的上方，求實數
的取值范圍.