Question

已知f（x）=[3ln（x+2）-ln（x-2）]

    （Ⅰ）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；

（Ⅱ）設F（x）=aln（x-1）－f（x），若F（x）是單調遞增函數，求a的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）f（x）＜ f（7），即當f（x）取得在[3，7]上的最大值

（Ⅱ）,當a≥1時 ≥0在（2，+∞）恒成立

解析:

（Ⅰ）………………3分

∴當2＜x＜4時，＜0，當x＞時，＞0

∴f（x）在（2，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數

∴f（x）在[3，7]上的最大值應在端點處取得

∴f（x）- f（7）=

∴f（x）＜ f（7），即當f（x）取得在[3，7]上的最大值………………6分

 

（Ⅱ）F（x）是單調遞增函數，∴≥0恒成立

又∴=

顯然f（x）在（2，+∞）上，＞0恒成立………………10分

∴≥0在（2，+∞）恒成立時a的解情況是

當a-1＜0時，顯然不可能有≥0在（2，+∞）恒成立

a-1=0=5x-8＞0在（2，+∞）恒成立

a-1＞0又有兩種情況①5²+16a（a-1）（a+1）≤0

②≤2且（a-1）²×2²+5×2－4（a+1）≥0

由①得16²+9≤0，無解：由②得a≥1/4∵a-1>0∴a>1

綜合上述各種情況,當a≥1時 ≥0在（2，+∞）恒成立…12分