Question

設A、B分別為雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右兩個頂點,P為雙曲線上一點, |AB|=|BP|=4,∠PAB=30°.

(1)求雙曲線的方程;

(2)設M為(1)中雙曲線上任一動點,過B點作直線l₁,使得l₁⊥BM,過A點作直線l₂,使得l₂⊥AM,l₁、l₂相交于點N,求點N的軌跡方程.

Answer 1

1、雙曲線的方程為-=1.

2、N點軌跡方程為x²-y²=4(x≠±2).

解析:

(1)∵|AB|=4,

∴2a=4,即a=2.

過P點作PC⊥x軸,C為垂足.

在△ABP中,

∵|AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°,

∴∠PBC=2∠PAB=60°.

∴|PC|=|PB|·sin60°=2.

∴P(4,2).

又∵點P為雙曲線上任意一點,則=1.

∴b²=4.

故所求雙曲線的方程為-=1.

(2)設M(x₀,y₀)、N(x,y).∵A(-2,0)、B(2,0),

NB⊥MB,NA⊥MA,

∴

由①×②得=1.                                              ③

又∵M(x₀,y₀)在雙曲線上,

∴=1.∴=1.代入③中,

得=1,即x²-y²=4.

經檢驗點(-2,0)、(2,0)不符合題意.

故N點軌跡方程為x²-y²=4(x≠±2).