Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的極小值；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意可得分類(lèi)討論函數(shù)的極小值即可.

（2）令，原問(wèn)題等價(jià)于,即證.據(jù)此分類(lèi)討論，和三種情況即可證得題中的結(jié)論.

（1）

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極小值；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極小值；當(dāng)時(shí)，

（2）令

當(dāng)時(shí)，要證：，即證,即證，

要證，即證.

①當(dāng)時(shí)，

令，，所以在單調(diào)遞增，

故，即.

，

令，，

當(dāng)，在單調(diào)遞減；，在單調(diào)遞增，故，即.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

又，

由、可知

所以當(dāng)時(shí)，

②當(dāng)時(shí)，即證.令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由②知，而，

故；

當(dāng)時(shí)，，由②知，故；

所以，當(dāng)時(shí)，.

綜上①②③可知，當(dāng)時(shí)，.