Question

如圖，與都是邊長為2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求點到平面的距離；
（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

，

解法一：（1）等體積法．


取CD中點O，連OB，OM，則OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD．
又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到平面ABC的距離相等．
作OH⊥BC于H，連MH，則MH⊥BC．
求得OH=OC•=，
MH=．
設點到平面的距離為d，由得．
即，
解得．
（2）延長AM、BO相交于E，連CE、DE，CE是平面與平面的交線．
由（1）知，O是BE的中點，則BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設為.
因為∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，.
則所求二面角的正弦值為
解法二：取CD中點O，連OB，OM，則
OB⊥CD，OM⊥CD．又平面平面,則MO⊥平面.
取O為原點，直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖．OB=OM=，則各點坐標分別為C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）.
（1）設是平面MBC的法向量，則,.
由得；
由得．
取．，則
．
（2），.
設平面ACM的法向量為，由得解得，，取.又平面BCD的法向量為.
所以，
設所求二面角為，則.