Question

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是實數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若a，b，c滿足b²-3ac＜0，求證：函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在區(qū)間（-1，3）上小于零，可知，-1和3對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為0，再由f′（0）=-18，可求得導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)間的關(guān)系，表示出原函數(shù)，再由f（0）=-7求解．
（2）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程無根即可，所以下面就轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)是恒大于零還是恒小于零問題求解．

解答：解（1）f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18．（3分）
又由于f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，
所以-1和3必是f′（x）=0的兩個根．
從而

3a-2b-18=0 27a+6b-18=0.

解得

a=2 b=-6.

（5分）
又根據(jù)f（0）=-7，所以f（x）=2x³-6x²-18x-7（7分）
（2）f′（x）=3ax²+2bx+c由條件b²-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）
因為f'（x）為二次三項式，
并且△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
所以，當a＞0時，f'（x）＞0恒成立，此時函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
當a＜0時，f'（x）＜0恒成立，此時函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)．
因此，對任意給定的實數(shù)a，函數(shù)f（x）總是單調(diào)函數(shù)．（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負間的關(guān)系，當導(dǎo)數(shù)大于零時，函數(shù)為增函數(shù)，當導(dǎo)數(shù)小于零時，函數(shù)為減函數(shù)．