Question

（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．
已知長方體，，點M是棱的中點．
（1）試用反證法證明直線是異面直線；
（2）求直線所成的角（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

略

證明 (1)(反證法)假設直線與不是異面直線. ……………………………1分
設直線與都在平面上，則.………………………3分
因此，有不共線的三個公共點，即
重合).又長方體的相鄰兩個面不重合，這是矛盾，于是，假設不成立. …………………………………………………………6分
　　所以直線與是異面直線. 　　　　　　　　　　  …………………7分
解  (2)按如圖所示建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為D(0，0，0)、
A(4，0，0)、B(4，2，0)，C(0，2，0)，(4，0，4)，(4，2，4)，(0，2，4)，
(0，0，4)．于是，M(0，1，4)，…9分

　　設平面的法向量為，則
，即．取．  …   11分
　　所以平面的一個法向量為．
記直線為，于是，
，． ………………………13分
　　所以，直線為＝．…………………14分