Question

【題目】如圖所示，三棱柱中，已知側面， ， ， .

（1）求證： 平面；

（2）是棱上的一點，若二面角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)2或3.

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后證明BC⊥BC1，利用直線與平面垂直的判定定理證明C1B⊥平面ABC．

（Ⅱ）通過AB，BC，BC1兩兩垂直．以B為原點，BC，BA，BC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．求出相關點的坐標，求出平面AB1E的一個法向量，平面的一個法向量通過向量的數量積，推出λ的方程，求解即可．

試題解析： 證明：因為平面， 平面，所以，

在中， ， ， ，

由余弦定理得： ，

故，所以，

又，∴平面.

由可以知道， ， ，兩兩垂直，以為原點， ， ，所在直線為， ， 軸建立空間直角坐標系.

則， ， ， ， ， ， .

令，∴， .

設平面的一個法向量為，

，

令，則， ，

∴，

平面，∴是平面的一個法向量，

，兩邊平方并化簡得，所以或.

∴或.