Question

下列說法正確的為

②③⑤

．
    ①集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1 }，若B⊆A，則-3≤a≤3；
    ②函數y=f（x） 與直線x=1的交點個數為0或1；
    ③函數y=f（2-x）與函數y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱；
    ④a∈（

1

4

，+∞）時，函數y=lg（x²+x+a） 的值域為R；
    ⑤與函數 y=f（x）-2關于點（1，-1）對稱的函數為y=-f（2-x）．

Answer 1

分析：由已知中集合A，B及B⊆A，分B為空集和B不為空集兩種情況討論求出a的取值范圍，可得①的真假；
根據函數定義的唯一性，分x=1屬于和不屬于函數的定義域兩種情況討論求出函數圖象與直線x=l的交點個數，可得②的真假；
根據函數圖象的對稱軸的求出，可得③的真假；
根據對數函數的性質，分析求出函數y=lg（x²+x+a） 的值域為R和定義域為R時，a的取值范圍，可得④的真假；
根據函數圖象的對稱變換法則，求出函數對稱變換后的解析式，可得⑤的真假．

解答：解：∵A={x|x²-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5 }，B={x|a+1≤x≤2a-1 }，若B⊆A，則-2≤a+1≤2a-1≤5（此時B不為空集）或a+1≥2a-1（此時B為空集），解得a≤3，故①錯誤；
函數y=f（x） 與直線x=1的交點個數為0個（此時1不屬于定義域）或1個（1屬于定義域），故②正確；
因為函數y=f（a+x）與函數y=f（b-x）的圖象關于直線x=

b-a

2

對稱，故函數y=f（2-x）與函數y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱，即③正確；
a∈（-∞，

1

4

]時，真數x²+x+a的判別式大于等于0，即真數可以為任意正數，此時函數y=lg（x²+x+a）的值域為R，當a∈（

1

4

，+∞）時，x²+x+a＞0恒成立，函數y=lg（x²+x+a） 的定義域為R，即④錯誤；
根據對稱變換法則，與函數y=f（x）-2關于點（1，-1）對稱的函數為y=-2-[f（2-x）-2]=-f（2-x），即⑤正確
故答案為：②③⑤

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，集合之間的關系，函數的定義，函數的對稱性，對稱變換及對數函數的單調性，熟練掌握函數的基本性質及定義是解答本題的關鍵．