Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，，E為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積；

（3）在側棱上是否存在一點M，滿足平面，若存在，求的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）利用菱形的性質，可得F為的中點，再利用三角形的中位線定理可得，利用線面平行的判定定理即可得出；

（2）由已知底面，可得為三棱錐的高，利用，以及三棱錐的體積計算公式即可得出；

（3）利用三垂線定理可得，在平面內，作，垂足為，求得的長，即可知道點是否在線段上.

（1）設，相交于點F，連接，

∵四棱錐底面為菱形，

∴F為的中點，

又∵E為的中點，∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵底面為菱形，，

∴是邊長為2的正三角形，

又∵底面，

∴為三棱錐的高，

∴.

（3）在側棱上存在一點M，滿足平面，證明如下：

∵四棱錐的底面為菱形，

∴，

∵平面，平面，

∴.

∵，∴平面，

∴.

在內，可求，，

在平面內，作，垂足為M，

設，則有，

解得.

連接，∵，，，平面，平面.

∴平面.

∴滿足條件的點M存在，此時的長為.