Question

【題目】已知函數f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的奇函數，若對于任意的實數x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（﹣2011）+f（2012）的值為（ ）
A.﹣1
B.﹣2
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵對于任意的實數x≥0，都有f（x+2）=f（x）， ∴函數在[0，+∞）內的一個周期T=2，
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）
=﹣f（2011）+f（2012）
=﹣f（1）+f（0）
又當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），
∴f（1）=log2（1+1）=1
f（0）log2（0+1）=0
因此f（﹣2011）+f（2012）
=﹣f（1）+f（0）
=﹣1+0
=﹣1．
故選A．
【考點精析】掌握函數奇偶性的性質和函數的值是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．