Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F，設過點T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0，
(Ⅰ)設動點P滿足PF²-PB²=4，求點P的軌跡；
(Ⅱ)設x₁=2，x₂=，求點T的坐標；
(Ⅲ)設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）．

Answer 1

解：由題設得A(-3，0)，B(3，0)，F(2，0)， (Ⅰ)設點P(x，y)，則PF2=（x-2）2+y2，PB2= (x-3）2+y2， 由PF2-PB2=4，得（x-2）2+y2-（x-3）2-y2=4，化簡得， 故所求點P的軌跡為直線。
(Ⅱ)由及y1＞0，得， 則點，從而直線AM的方程為； 由及y2＜0，得， 則點，從而直線BN的方程為； 由，解得， 所以點T的坐標為。
(Ⅲ)由題設知，直線AT的方程為， 直線BT的方程為， 點M(x1，y1)滿足得， 因為x1≠-3，則，解得， 從而得； 點N(x2，y2)滿足，解得； 若x1=x2，則由及m＞0，得， 此時直線MN的方程為x=1，過點D(1，0)； 若x1≠x2，則， 直線MD的斜率， 直線ND的斜率， 得kMD=kND，所以直線MN過D點； 因此，直線MN必過x軸上的點(1，0)。