Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的圖象得到三角函數(shù)的振幅與半個(gè)周期，根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求出初相，得到函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)正弦曲線的單調(diào)區(qū)間，把三角函數(shù)的角的值代入求出x的范圍，就是要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）根據(jù)方程有兩個(gè)不同的根，即直線y=m與三角函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可以得到-2＜m＜1或1＜m＜2．

解答：解：（1）根據(jù)圖象可以看出A=2，

T

2

=

11π

12

-

5π

12

=

π

2

∴T=π，ω=2，
∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)（

2π

12

，2）
代入三角函數(shù)的解析式得到φ=

π

6

∴函數(shù)的解析式是f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）根據(jù)正弦曲線可以看出2x+

π

6

∈ [2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴2x∈ [2kπ-

π

6

-

π

2

，2kπ-

π

6

+

π

2

]
∴單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z．
（3）∵方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
當(dāng)0＜x＜π時(shí)，
2x+

π

6

∈ [

π

6

，

13π

6

]
方程有兩個(gè)不同的根，即直線y=m與三角函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
根據(jù)圖象可以得到-2＜m＜1或1＜m＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的確定和正弦函數(shù)的單調(diào)性以及直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)的問題，不同解題的關(guān)鍵是做出正確的函數(shù)的解析式，本題是一個(gè)中檔題目．