Question

已知函數f(x)=

2x-1  x≤0 f(x-1)+1  x＞0

，把方程f（x）=x的根按從小到大的順序排列成一個數列，則該數列的通項公式為（　　）

• A、an=

  n(n-1)

  2

  （n∈N^*）
• B、a_n=n（n-1）（n∈N^*）
• C、a_n=n-1（n∈N^*）
• D、a_n=2ⁿ-2（n∈N^*）

Answer 1

分析：函數y=f（x）與y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交點依次為（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為0，1，2，3，4，…其通項公式為a_n=n-1．

解答：解：若0＜x≤1，則-1＜x-1＜0，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
若1＜x≤2，則0＜x-1≤1，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1
若2＜x≤3，則1＜x-1≤2，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2
若3＜x≤4，則2＜x-1＜3，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3
以此類推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），則f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
下面分析函數f（x）=2^x的圖象與直線y=x+1的交點
很顯然，它們有兩個交點（0，1）和（1，2），
由于指數函數f（x）=2^x為增函數且圖象下凸，故它們只有這兩個交點．
然后①將函數f（x）=2^x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位即得到函數f（x）=2^x-1和y=x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個交點（0，0）．
即當x≤0時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=0．
②取①中函數f（x）=2^x-1和y=x圖象-1＜x≤0的部分，再同時向上和向右各平移一個單位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，顯然，此時它們仍然只有一個交點（1，1）．
即當0＜x≤1時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=1．
③取②中函數f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續按照上述步驟進行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，顯然，此時它們仍然只有一個交點（2，2）．
即當1＜x≤2時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=2．
④以此類推，函數y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交點依次為（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．
綜上所述方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為
0，1，2，3，4，…
其通項公式為a_n=n-1；
故選C．

點評：本題考查數列的遞推公式的合理運用，解題時要注意分類討論思想的合理運用．