Question

對于以下命題
①若（

1

2

）^a=（

1

3

）^b，則a＞b＞0；
②設a，b，c，d是實數，若a²+b²=c²+d²=1，則abcd的最小值為-

1

4

；
③若x＞0，則（（2-x）e^x＜x+2；
④若定義域為R的函數y=f（x），滿足f（x）+f（x+2）=2，則其圖象關于點（2，1）對稱．
其中正確命題的序號是

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：根據函數的性質分別進行判斷即可．

解答：解：①當a=b=0時．滿足（

1

2

）^a=（

1

3

）^b=1，但a＞b＞0不成立，∴①錯誤．
②設a，b，c，d是實數，若a²+b²=c²+d²=1，
則a²+b²≥2|ab|，c²+d²=≥2|cd|，
∴|ab|≤

1

2

，|cd|≤

1

2

，
∴|abcd|=|ab|•|cd|≤

1

2

•

1

2

=

1

4

，
∴-

1

4

≤abcd≤

1

4

，
則abcd的最小值為-

1

4

，∴②正確．
③若x=2，則不等式等價為0＜4成立，
若x＞2時，2-x＜0，x+2＞4，∴不等式成立．
若0＜x＜2，則不等式等價為e^x＜

x+2

2-x

=-1-

4

x-4

；由圖象可知不等式成立．
故③正確．
④若定義域為R的函數y=f（x），滿足f（x）+f（x+2）=2，則f（x+2）+f（x+4）=2，即f（x+2）+f（x+4）=f（x+2）+f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函數的周期是4，則其圖象關于點（2，1）對稱不正確．
其中正確命題的序號是②③，
故答案為：②③．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．