Question

非空集合G關于運算⊕滿足：（1）對任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱G關于運算⊕為“融洽集”．現給出下列集合和運算：
①G={非負整數}，⊕為整數的加法．
②G={偶數}，⊕為整數的乘法．
③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法．
④G={二次三項式}，⊕為多項式的加法．
⑤G={虛數}，⊕為復數的乘法．
其中G關于運算⊕為“融洽集”的是

 

．（寫出所有“融洽集”的序號）

Answer 1

分析：根據題意對給出的集合和運算對兩個條件：運算的封閉性和單位量e進行驗證，分別用加法、乘法和平面向量的線性運算的法則判斷，只有都滿足時才是G關于運算⊕為“融洽集”．

解答：解：①G={非負整數}，⊕為整數的加法，滿足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，
且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求；
②G={偶數}，⊕為整數的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，則e=1，矛盾，∴②不符合要求；
③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法，兩個向量相加結果仍為向量；取e=

0

，滿足要求，
∴③符合要求；
④G={二次三項式}，⊕為多項式的加法，兩個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式，
∴④不符合要求；
⑤G={虛數}，⊕為復數的乘法，兩個虛數相乘得到的可能是實數，∴⑤不符合要求，
這樣G關于運算⊕為“融洽集”的有①③．
故答案為：①③．

點評：本題考查了學生對新定義的理解和運用能力，可結合學過的運算性質進行類比理解，比如：第一條是運算的封閉性，第二條如加法中的“0”或乘法中的“1”．