Question

（提示：請從以下兩個不等式選擇其中一個證明即可，若兩題都答以第一題為準）
（1）設a_i∈R₊，b_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n=2，求證：

a 2 1

a1+b1

+

a 2 2

a2+b2

+…+

a 2 n

an+bn

≥1
（2）設a_i∈R₊（i=1，2，…n），求證：

(a1+a2+…an)2

2( a 2 1 + a 2 2 +… a 2 n )

≤

a1

a2+a3

+

a2

a3+a4

+…+

an

a1+a2

．

Answer 1

分析：（1）欲證不等式的左式=(

a1+a2+…an+b1+b2+…bn

4

)(

a 2 1

a1+b1

+

a 2 2

a2+b2

+…

a 2 n

an+bn

)
=

1

4

[(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)](

a 2 1

a1+b1

+

a 2 2

a2+b2

+…

a 2 n

an+bn

)結合柯西不等式即可得到證明．
（2）先由排序不等式，得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁，a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₃+a₂a₄+…+a_na₂兩式相加后結合柯西不等式即可得到證明．

解答：證明：（1）左式=(

a1+a2+…an+b1+b2+…bn

4

)(

a 2 1

a1+b1

+

a 2 2

a2+b2

+…

a 2 n

an+bn

)
=

1

4

[(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)](

a 2 1

a1+b1

+

a 2 2

a2+b2

+…

a 2 n

an+bn

)

≥ 1 4 ( a1+b1 a1 a1+b1 + a2+b2 a2 a2+b2 +…+ an+bn an an+bn )2

=

1

4

(a1+a2+…an)2=1
（2）由排序不等式，得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁，a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₃+a₂a₄+…+a_na₂
兩式相加：2（a₁²+a₂²+…+a_n²）≥a₁（a₂+a₃）+a₂（a₃+a₄）…+a_n（a₁+a₂），從而

2( a 2 1 + a 2 2 +…+ a 2 n )( a1 a2+a3 + a2 a3+a4 +…+ an a1+a2 )≥

≥（a₁+a₂+…a_n）²，即證．

點評：本小題主要考查不等式的證明、排序不等式、柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．