Question

已知某類學習任務的掌握程度y與學習時間t（單位時間）之間的關系為y=f（t）=，這里我們稱這一函數關系為“學習曲線”．已知這類學習任務中的某項任務有如下兩組數據：t=4，y=50%；t=8，y=80%．
（Ⅰ）試確定該項學習任務的“學習曲線”的關系式f（t）；
（Ⅱ）若定義在區間[x₁，x₂]上的平均學習效率為，問這項學習任務從哪一刻開始的2個單位時間內平均學習效率最高．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得，
整理得，解得a=4，b=0.5，
所以“學習曲線”的關系式為．
（Ⅱ）設從第x個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率為η，則
令u=2^-0.5x，則，
顯然當，即時，η最大，
將代入u=2^-0.5x，得x=3，
所以，在從第3個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率最高．
分析：（Ⅰ）由題意得，由此能求出“學習曲線”的關系式．
（Ⅱ）設從第x個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率為η，令u=2^-0.5x，能推導出在從第3個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率最高．
點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．