Question

已知集合A={x|

6

x+1

＞1，x∈R}，B={x|x²+（1-m）x-m＜0，x∈R}．
（1）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求實數m的值；
（2）當m=3時，求A∩（?_RB）；
（3）若A∪B=A，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解

6

x+1

＞1可得集合A，由x²+（1-m）x-m＜0?（x+1）（x-m）＜0，可得B={x|（x+1）（x-m）＜0}，對m分類討論，驗證A∩B={x|-1＜x＜4}能不能成立，分析可得答案；
（2）根據題意，由m=3可得集合B，由補集的意義可得?_RB，進而由交集的定義，計算可得答案；
（3）分析可得，若A∪B=A，必有B⊆A，分①B=?與②B≠?兩種情況討論，可得答案．

解答：解：（1）對于集合A，由

6

x+1

＞1，得

x-5

x+1

＜0，解可得-1＜x＜5，
則A={x|-1＜x＜5}，
x²+（1-m）x-m＜0?（x+1）（x-m）＜0，則B={x|（x+1）（x-m）＜0}，
對于m分類討論：
①、m＜-1，B={x|x＜m或x＞1}，A∩B={x|-1＜x＜4}不可能成立，
②、m=-1，B=∅，A∩B={x|-1＜x＜4}不可能成立，
③、m＞-1，B={x|-1＜x＜m}，
若A∩B={x|-1＜x＜4}，則m=4，
此時B={x|-1＜x＜4}，符合題意，
故實數m的值為4．
（2）當m=3時，B={x|-1＜x＜3}，則?_RB={x|x≤-1或x≥3}                       
∴A∩（?_RB）={x|3≤x＜5}                         
（3）因為A∪B=A，所以B⊆A，
①當B=?時，即m=-1，符合題意，
②當B≠?時，顯然-1＜m≤5，
綜上所述，-1≤m≤5．

點評：本題集合之間關系的判斷與運用，解題時，注意結合數軸分析．