Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（2，0），且離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點N（

2

，0）且斜率為

6

3

的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求證：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可知，

a=2 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得

a=1，b=1 c= 3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意可得直線l的方程為：y=

6

3

(x-

2

)．
l聯立

y= 6 3 (x- 2 ) x2 4 +y2=1

消去y得：11x2-16

2

x+4=0，
∴x1+x2=

16 2

11

，x₁x₂=

4

11

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+

2

3

(x1-

2

)(x2-

2

)=

5

3

x1x2-

2 2

3

(x1+x2)+

4

3

=

20

33

-

64

33

+

4

3

=0．
∴

OA

•

OB

=0．