Question

（理科做）已知函數f（x）=x³+ax+b定義在區間[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x₁•y₁）、Q（x₂•y₂）是其圖象上任意兩點（x₁≠x₂）．
（1）求證：f（x）的圖象關于點（0，b）成中心對稱圖形；
（2）設直線PQ的斜率為k，求證：|k|＜2；
（3）若0≤x₁＜x₂≤1，求證：|y₁-y₂|＜1．

Answer 1

分析：（1）由于f（0）=f（1）得到b=1+a+b得a=-1，得出f（x）=x³-x+b的圖象可由y=x³-x的圖象向上（或下）平移b（或-b）個單位二得到． 又y=x³-x是奇函數，其圖象關于原點成中心對稱圖形，最后得出f（x）的圖象關于點（0，b）成中心對稱圖形． 
（2）先由點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）在f（x）=x³-x+b的圖象上．k=

y 1-y 2

x 1-x2

=x2 1-

x

3 2

+x 1x 2-1． 又x₁、x₂∈[-1，1]，利用不等式的性質即可證得|k|=|x₁²+x₂²+x₁x₂-1|＜2
（3）根據0≤x₁＜x₂≤1，且|y₁-y₂|＜2|x₁-x₂|=-2（x₁-x₂），又|y₁-y₂|=|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|利用絕對值不等式的性質即可證得|y₁-y₂|＜1．

解答：解：（1）f（0）=f（1），∴b=1+a+b得a=-1．（1分）
f（x）=x³-x+b的圖象可由y=x³-x的圖象向上（或下）平移b（或-b）個單位二得到．                                                                 （3分）
又y=x³-x是奇函數，其圖象關于原點成中心對稱圖形，f（x）的圖象關于點（0，b）成中心對稱圖形．                                                         （5分）
（2）∵點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）在f（x）=x³-x+b的圖象上，
則k=

y1-y2

x1-x2

=x₁²+x₂²+x₁x₂-1，（7分）
又x₁、x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂∵0＜x₁²+x₂²+x₁x₂＜3，從而-1＜x₁²+x₂²+x₁x₂-1＜2
∴|k|=|x₁²+x₂²+x₁x₂-1|＜2                                     （11分）
（3）∵0≤x₁＜x₂≤1，且|y₁-y₂|＜2|x₁-x₂|=-2（x₁-x₂），①
又|y₁-y₂|=|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤2|x₁-0|+2|x₂-1|=2（x₁-0）+2（1-x₂）=2（x₁-x₂）+2②
①+②得2|y₁-y₂|＜2，故|y₁-y₂|＜1（14分）

點評：本題考查了函數圖象中心對稱的性質的應用，即函數的對稱中心的坐標是（a，b），則有2b=f（a+x）+f（a-x）對任意x均成立，由此恒等式進行求值．