Question

已知函數f(x)=ax-

b

x

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函數f（x）在其定域義內為單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且an+1=f′(

1

an+1

)-nan+1．
①若a₁≥3，求證：a_n≥n+2；
②若a₁=4，試比較

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

與

2

5

的大小，并說明你的理由．

Answer 1

（1）∵f（1）=a-b=0，∴a=b，∴f(x)=ax-

a

x

-2lnx，
∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函數f（x）在定義域（0，+∞）內為單調函數，則在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，
當a=0時，f′（x）=-

2

x

＜0在（0，+∞）內恒成立；
當a＞0時，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞0恒成立，則a-

1

a

＞0，解得a＞1，
當a＜0時，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

＞＜0恒成立，則a-

1

a

＜0，解得a＜-1，
所以a的取值范圍為a＞1或a＜-1或a=0．
（2）①∵函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1
∴f′（x）=（

1

x

-1）²，a_n+1=a_n²-na_n+1
下面用數學歸納法證明：
（Ⅰ）當n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假設當n=k時，不等式成立，即：a_k≥k+2，∴a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+2成立
根據（Ⅰ）（Ⅱ）對于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立
②由①得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，
于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…，a_n+1≥2（a_n-1+1）
累乘得：a_n+1≥2^n-1（a₁+1），則

1

1+an

≤

1

2n-1

•

1

1+a1

（n≥2），
所以

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

≤

1

1+a1

（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

2

5

（1-

1

2n

）＜

2

5

．