Question

已知曲線是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、距離之比為的點(diǎn)的軌跡。
（1）求曲線的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程。

Answer 1

（1）；(2），。

解析試題分析：（1）在給定的坐標(biāo)系里，設(shè)點(diǎn)。
由及兩點(diǎn)間的距離公式，得 ， ①…………3分
將①式兩邊平方整理得：
即所求曲線方程為：  ②…………………………5分
（2）由（1）得，其圓心為，半徑為。
i)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，顯然與圓相切；…6分
ii) 當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為
即       ……………7分
由其與圓相切得圓心到該直線的距離等于半徑，得
，解得，      …………8分
此時(shí)直線方程為           …………9分
所以過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程為，。………10分
考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式；點(diǎn)到直線的距離公式；軌跡方程的求法；
點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的基本步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P（x，y）是軌跡上的任意一點(diǎn)；②尋找動(dòng)點(diǎn)P（x，y）所滿足的條件；③用坐標(biāo)（x，y）表示條件，列出方程f（x，y）=0；④化簡(jiǎn)方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程，注意驗(yàn)證。