Question

【題目】如圖，設橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左右焦點分別為，線段，的中點分別為，且是面積為4的直角三角形，過作直線交橢圓于兩點，使，則直線的斜率為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意設出橢圓的標準方程，結合已知列式求出橢圓方程，再設出直線的方程，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于的一元二次方程，由根與系數的關系結合向量數量積為0列式求得值，則直線方程可求．

設所求橢圓的標準方程為，右焦點為．

△是直角三角形，又，為直角，

因此，得．

結合，得，故，，離心率．

在△中，，故．

由題設條件△的面積為4，得，從而．

因此所求橢圓的標準方程為：．

則，．

由題意知直線的傾斜角不為0，故可設直線的方程為：．

代入橢圓方程得．

設，，，，則．

又，

由，得，

即，解得．

所以直線的斜率為.

故答案為：