Question

借助計算器，分別按下面兩種要求，用二分法求函數f(x)=lnx-在區間（2，3）內的零點：

（1）精確度為0.1；（2）精確到0.1.

Answer 1

解析：可證得函數在區間（2，3）上為增函數，由題設有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0,

    由于f(2)·f(3)＜0，故函數f(x)在區間（2，3）內有一個零點x₀，即x₀∈(2,3).

    下面用二分法求函數f(x)=lnx-在區間（2，3）內零點的近似值：

    取區間（2，3）的中點x₁=2.5，用計算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)＜0,所以x₀∈(2,2.5);

    再取區間（2，2.5）的中點x₂=2.25，用計算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x₀∈(2.25,2.5).

    同理可得x₀∈(2.25,2.375)，

    x₀∈(2.312 5,2.375).(*)

    （1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以區間［2.312 5,2.375］上任意一個實數x₀′均可作為f(x)在區間（2，3）內且精確度為0.1的零點的近似值（比如，可取x₀′=2.35,2.342,2.375等）；

    （2）接（*），同理可得，x₀∈(2.343 75,2.375),x₀∈(2.343 75,2.359 375),

    x₀∈(2.343 75,2.351 562 5),x₀∈(2.343 75,2.347 656 25).

    由于區間(2.343 75,2.347 656 25)的兩個端點精確到0.1的近似值都是2.3，所以函數f(x)在區間（2，3）內精確到0.1的零點的近似值為2.3.